時間：2023-05-30 10:37:06
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇導數公式，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
高中理科之間互相都有融合滲透，因為在物理學、幾何學、經濟學等學科中，一些重要概念都可以用導數來表示。高中導數公式的應用過程是讓學生感知瞬時變化率的過程。
一、導數在函數單調性判斷中的應用
在平面直角坐標系中，導數代表的就是某條曲線在某一點的斜率。判斷函數的單調性，就可以根據一個切線上的斜率來判定，斜率都大于零，那么可以準確判斷出其單調遞增的特征。尤其是在簡單的一次函數中，當曲線斜率為正時，函數單調遞增，反之為負時就是單調遞增。
例1.求函數y=x3-3x+1的單調區間。
解析：y=x3-3x+1 Y′=3x2-3 當3x2-3=0，即x=±1時，y有極值=-1和3，因為x=2，y（2）=3，x=1，y（1）=-1，x=0，y（0）=1，x=-1，y（-1）=3，x=-2，y（-2）=-1所以函數在（-∞，-1]單調遞增，在[-1，1]單調遞減，在[1，+∞）單調遞增。
在求解單調函數的遞增性上，求解函數單調性，更可以顯示導數公式的價值。在實際應用中，還可以延伸出導函數“二次型單調性問題求解”。
二、導數在求函數的切線中的應用
基本初等函數的導數由12個常用導數衍生出來，成為推導的依據。導數的幾何意義就是曲線在點處的切線斜率，也就是常說的切線方程公式，除了強調曲線上的點外，還體現函數在點處可導的充分不必要條件。導數在數學中解決的問題就是，以此助推求解函數切線，其應用價值就體現在函數在點處可導，曲線在點處一定存在切線，但是曲線在點存在切線，卻未必可導的特性。
例2.函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=
f（x）在點P（x0，y=f（x0））處的切線的斜率。在求解中，設曲線y=f（x）在點P（x0，y）=f（x0）處的切線的斜率是f′（x0），相應的切線方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）。在該例題切線方程的求解中，就是根據導數所體現的幾何意義來求解的。
三、導數在三角函數中的應用
三角函數的導數關系、商數關系、平方關系、積化和差、雙曲函數等都可以在簡單的導數中發現事物的本質，進而衍生出新的解題策略。sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出發，推導出復雜三角函數的求解之法。
例3.由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB導數公式，推導出三角函數積化和差、和差化積問題。
首先，畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為α，BOD為β，旋轉AOB使OB與OD重合，形成新A′OD。
A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β））
OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）
[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2
和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）
綜上所述，在結合課改和高中生身心發展現狀時，要培養學生的辯證思維和掌握導數的變化趨勢，成為導數應用領域必須關注的大事。這對于應用導數公式解決高中生日常數學難題，具有積極的指導作用。
參考文獻：
【摘 要】文章簡要介紹了泰勒公式及其幾個常見函數的展開式， 泰勒公式是高等數學中一個非常重要的內容，它將一些復雜函數近似地表示為簡單的多項式函數，這種化繁為簡的功能，使它成為分析和研究其他數學問題的有力工具，本文討論了應用泰勒公式求高階導數、判斷函數的凸凹性及拐點的問題以及帶有Pe？琢no余項的T？琢ylor公式有關的導數概念的推廣即Pe？琢no導數。
【關鍵詞】泰勒公式；極限；斂散性；凸凹性；拐點
泰勒公式是數學分析中一個重要的內容，微分學理論中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函數的增量，自變量增量與一階及高階導數的關系，將一些復雜的函數近似地表示為簡單的多項式函數，這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數學問題的有力工具。泰勒公式的余項有兩種：一種是定性的，例如我們可以使用泰勒公式， 皮亞諾型余項；另一種是定量的，如拉格朗日余項、柯西型余項等。可以用來很好的解決有關函數高階導數問題。帶有余項的公式建立了函數與它的階導數之間的關系，在理論和實踐中有廣泛的應用。
泰勒公式是數學分析中一個非常重要的內容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計算、極限計算、函數凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問題以及行列式的計算等方面有重要的應用。通過本文的論述，我們可以了解到高階導數的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。只要題中條件給出函數二階及二階以上可導，不妨先把函數在指定點展成泰勒公式，一般是展成比最高階導數低一階的泰勒公式，然后根據題設條件恰當選擇展開點（展開點未必一定是具體數值點，有時以為佳）。只要在解題訓練中注意分析、研究題設條件及其形式特點，并把握上述處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。
作者簡介：郭勝紅（1979.2-），男，甘肅蘭州人，漢族，講師.主攻方向：數學教育。
參考文獻：
[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊、第三版）[M].北京.高等教育出版社.2001（2008重印），125-126，134-139
[2]孫清華，孫昊.數學分析內容、方法與技巧（上）[M].武漢.華中科技大學出版.2003年7月，
[3]王殿元.帶有不同型余項泰勒公式的證明（第四期）[J].電大理工.2000.11，38
關鍵詞 導數；計算
一、運用周期
例1 設f0（x）=sinx，f1（x）=f0'（x），f2（x）=f1'（x），…，fn+1（x）=fn'（x），n∈N，則f2012（x）= 。
分析：首先根據題設分別計算f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），…，根據計算結果歸納其周期性求解。
解：f1（x）=cosx，f2（x）=-sinx，f3（x）=-cosx，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，…，故fn（x）的周期為4，所以f2012（x）=f4（x）=sinx。
點評：此類問題若采用常規方法求解將十分繁瑣，通過利用其周期性求解，大大降低了思維的難度。
二、適當賦值
例2 已知f（x）=x■+x■f'（1），則f'（-1）的值為。
分析：首先求出函數f（x）的導數，然后令x=1構造關于f'（1）的方程求解。
解：f'（x）=3x2+2xf'（1），f'（1）=3+2f'（1），解得f'（1）=-3，f '（-1）=3-2f'（1）=9。
點評：方程思想是一種重要的基本的數學思想方法，有關導數值問題的求解常常構造方程求解。
三、數形結合
例3 如圖1，函數g（x）=f（x）+■x2的圖象在點P處的切線方程是y=-x+8，則f（5）+f'（5）= 。
分析：觀察圖象可知點P的橫坐標為5，由于切線方程已知，故可求得g（5）及g'（5）。
解：g'（x）=f'（x）+■x由圖及題設可知g'（5）=-1，g（5）=3，-1=f'（5）+■×5，解得f'（5）=-■，由g（5）=f（5）+■×25解得f（5）=2，故f（5）+f'（5）=■。
點評：對于題設中已經給出圖形，根據題設及欲求的結論充分挖掘圖中蘊含的信息，從而使問題順利解決。
四、適當轉化
例4 求函數y=■的導數。
分析：本題是商的形式，可直接運用商的導數的運算法則進行，但求解過程繁鎖，仔細觀察，可以發現右端式子是齊次式，故可先分離常數，然后再求導。
解：y=■=■=1-■=1-2（x■+1）-1
y'=（1-2（x2+1）-1）'=0-2（-1）（x2+1）-2（x2+1）'
=2（x2+1）-2?2x=■。
點評：對于復合函數的求導要按照復合函數的求導法則進行，即y=f（g（x））的導數y'=f'（u）g'（x）（其中u=g（x））。
例5 求下列函數的導數：
（1）y=x■；(2)y=log■x■-log■x；（3）y=-2sin■（1-2cos■■）
解析：（1）y'=（x■）'=（x■）'=■x■=■■
（2）y=log■x■-log■x=log■x，y'=（log■x）'=■
（3）y=-2sin■（1-2cos■■）=2sin■（2cos■■■-1）=2sin■cos■=sinx，y'=（sinx）'=cosx
評注：對于簡單函數的求導，若能將函數關系式合理的轉化成可以直接應用公式的基本函數的形式，則可以應用導數公式直接求導.
例6 求下列函數的導數：
(1)y＝x(x2＋■＋■)；(2)y＝sin4■＋cos4■
解析：(1)y＝x(x2＋■＋■)＝x3＋1＋■，y'＝3x2－■；
(2)y＝sin4■＋cos4■=（sin■■+cos■■）■-2sin■■cos■■=1-■sin■■=1-■?■=■+■cosx
[關鍵詞] 導數 高中數學 合理應用
[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0000
導數是高考出題的熱點，這讓教師和學生對導數學習的意識也逐漸加強.導數在數學教學中的引入，加深了學生對函數的理解，激發了學生的創新思維，同時引導學生將導數解題的方式運用到實際生活中去，并且對激發學生學習數學的積極性有一定的作用.所以導數是數學教學中有利的輔助工具.注重引導學生用導數進行解題，并且能熟練掌握已成為數學教學的教學目標之一.
一、導數在代數中的應用
導數不是很復雜難學的知識，只要將公式、法則、性質牢記于心，多做練習，自然就能熟練應用.運用導數求極值一般有固定的解題步驟：首先求出f′（x）的根值，根據所得數值，確定根兩側的函數單調性，再根據單調性呈現出來的遞增或遞減狀態，得到相應的最大值或最小值.如果兩側單調性相同，則說明此根處沒有相應的極值.
例如，用導數求函數f（x）=-x3+3x2+9x在單調區間[1，5]上的最大值.
解： 函數f（x）的導數為f′（x）=-3x2+6x+9，所以在區間（-1，3）上是單調遞增的，即f′（x）>0.在區間（-∞，-1），（3，+∞）上是單調遞減的；對于區間[1，5]在[1，3]的范圍內f′（x）>0，即是遞增，在[3，5]范圍內f′（x）
這類題目在高中是常見的基礎題型，在某一區間內求取極值的問題，根據導數的定義，在區間內如果兩側符號不同，那就說明這個區間存在極值，以此為根據，有清晰的解題思路，就能快速地解出答案.
二、導數在幾何中的應用
導數在幾何題目的解答上都能使解題變得更高效簡單.學生在導數知識章節的學習中，對于導數的公式和兩個函數之間的四種求導法則，可以不用加以過多的證明，但一定要將公式和法則熟記于心，在遇到難題時，能夠正確使用相應的步驟和法則.學生在導數知識的學習過程中，也要注意適時的進行總結，對知識有一個連貫性.注重知識的全面運用，可以提升學生自身的綜合學習能力.
導數在幾何解題的應用也可以有效地提高解題效率.比如常見的給出某M點坐標和曲線c方程，求出最終的切線方程.解題基本上也是有固定的步驟：首先確定M點是否在相應的曲線c上，另外要求得相應的導數f′（x）；根據題目的實際情況會得出不一樣的數值，然后結合導數知識根據具體的情況運用相應的方程公式.如果點在曲線上，那么需要用的方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果點不在曲線上，那么需要用到的方程為y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此為根據，得出具體的x1的值，這樣就能求得切線方程.
在幾何題目的解答中，合理的應用導數可以使計算方法變得更加簡單，通過這種方式可以提高數學題目解答的效率.在高中數學中我們經常會遇到坐標系中切線方程求解.一般的題目都是給出曲線外的一個坐標點，讓學生來求解過這個點的曲線的切線方程，這些題目的解答都是通過導數來實現的.
例如：已知一條直線p：x+4y-4=0，以及曲線y=x4，直線p與曲線的一條切線n相互垂直，求切線n的方程.這是一道典型的采用導數來進行解答的曲線切線題目.在解題的過程中，我們要對題目所給的信息進行分析，根據直線x+4y-4=0與切線n相互垂直這一信息，來計算出n這條直線的斜率，然后再求出曲線的導函數.當導函數取具體值的時候，我們就可以將其對應的點坐標求出，這樣就可以根據斜率和點的坐標來得出直線的方程.具體解題步驟為：y=x4，求導結果為y′=4x3，直線x+4y-4=0的斜率為-1/4，那么與這條直線垂直的直線n的斜率就是4.我們令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，這條直線與曲線的交點，也就是切點的位置就是（1，1），那么對應的切線方程就為y-1=4（x-1），即為y=4x-3.
學生要想在數學解題中很好地應用導數，必須是建立再對導數的概念、性質以及法則等有深刻理解的基礎上的.通過導數典型性的應用，可以使一些題目變得一題多解，幫助學生對各個知識點有更加深層的掌握，并在此基礎上選擇較為簡單的方法，更好的解決問題.
總之，導數在高數解題中的運用，有效地幫助學生更快速地解答難題；在有些包含導數、方程組、數列等方面的綜合題目，通過使用導數進行解題，可以考察學生的綜合思考能力，提高高中數學教學有效性.
[ 參 考 文 獻 ]
[1]吳龍福.例析導數在高中數學題目解答中的典型性應用[J].數學大世界：教師適用，2012，（11）：62-62.
【關鍵詞】數學解題；價值分析
1.高中數學解題中的導數應用技巧
在高數的教學中，從教師的角度來說，熟悉導數的定義是學習導數的基礎，教師可以根據學生的學習進度適當調整導數章節的教學進度，如果基礎知識沒有掌握牢固，越往后知識越復雜就更不利于學生的理解和接受。在了解導數定義的基礎上，逐漸引入函數四則運算法則，將復雜的知識簡單化，用逐漸帶入的方式引導學生學習，打下一個堅實的導數學習基礎；學生要結合導數知識，將函數的極值判定和函數單調性要作為重要的知識點進行學習。
其實導數也不是很復雜難學的知識，只要將公式、法則、性質牢記于心，多做練習，自然就能熟練應用；運用導數求極值一般有固定的解題步驟：首先求出f′（x）的根值，根據所得數值，確定根兩側的函數單調性，再根據單調性呈現出來的遞增或遞減狀態，得到相應的最大值或最小值；如果兩側單調性相同，則說明此根處沒有相應的極值。
例如用導數求函數的極值：求函數f（x）=-x3+3x2+9x在單調區間[1，5]上的最大值；
解：函數f（x）的導數為f′（x）=-3x2+6x+9，所以在區間（-1，3）上是單調遞增的，即f′（x）0，在區間（-∞，-1），（3，+∞）上是單調遞減的；對于區間[1，5]在[1，3]的范圍內f′（x）0，即是遞增，在[3，5]范圍內f′（x）
這類題目在高數中是常見的基礎題型，在某一區間內求取極值的問題，根據導數的定義，在區間內如果兩側符號不同，那就說明這個區間存在極值，以此為根據，有清晰的解題思路，就能快速地解出答案。
導數在幾何解題的應用也可以有效的提高解題效率；比如常見的給出某M點坐標和曲線C方程，求出最終的切線方程，解題步驟基本上也是有固定的邏輯：首先確定M點是否在相應的曲線C上，另外要求得相應的導數f′（x）；根據題目的實際情況會得出不一樣的數值，然后結合導數知識根據具體的情況運用相應的方程公式：如果點在曲線上，那么需要用的方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果點不在曲線上，那么需要用到的方程為y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此為根據，得出具體的x1的值，這樣就能求得切線方程。
根據以上的解題實例可以看出，導數的運用不僅是代數，在幾何題目的解答步驟上都能使解題變得更高效簡單。學生在導數知識章節的學習中，對于導數的公式和兩個函數之間的四種求導法則，可以不用加以過多的證明，但一定要將公式和法則熟記于心，在遇到難題時，能夠正確使用相應的步驟和法則。學生在導數知識的學習過程中，也要注意適時的進行總結，對知識有一個連貫性的結構；注重知識的全面運用，可以提升學生自身的綜合學習能力。
2.高中數學解題中導數應用注意事項
在高中數學導數部分的教學過程中有一定的注意事項，首要要把握一定的教學要求，抓住教學的重點和難點，根據學生們的實際學習情況和接受進度進行相應的教學計劃調整，因為高數這門課程的思維連貫性，一旦某一部分沒有熟練掌握或者學習的不夠踏實，對接下來的學習會有很不好的影響，尤其在導數部分的學習，如果一開始的基礎知識沒有得到掌握，那么對這部分知識越往后就越難以消化。
要讓學生對導數的含義有一個很明確的了解，學習之初，對概念的認識也是很重要的學習內容，然后是對導數的各種性質的了解，因為導數在高數中起著很重要的作用，在很多題型中都可以用得到，而運用在解題中的時候，大都是依據導數的各種性質進行的，所以要求學生在熟悉導數的概念以后，對導數的性質也要牢記于心方能熟練運用。利用導數求得函數的單調性、極值、不等式和幾何方程等，可以有效地提高解題的效率和質量，從中考察學生對知識的掌握程度以及思維整合的能力。另外一點在運用導數求解的過程中，引導學生避免解題思路復雜化，全面考慮導數的各種性質找出最適合題目應用的，盡可能將其簡單化；在復合函數的學習過程中，要對將其計算法則進行重點學習，并做到熟練運用的程度，教師在復合函數練習題的難易程度要做好把控，考慮整體學生的學習情況進行安排布置，或者根據不同學習層次的學生，拿出多個具有針對性的練習方案，能更有效地幫助學生鞏固導數知識。
3.結語
教師在在導數的教學過程中，將理論知識形象化，結合一定的圖片表格，讓學生能更直觀的感受到導數的各性質之間的區別，同時也要注意引導學生將數學知識生活化，這樣也能更好地提高學生導數學習的效率。
【參考文獻】
[1]周彩鳳.高中數學導數解題典型性應用[J].中學數學教學參考，2015.15：58
[2]崔迎新.導數在高中數學解題中的應用[J].新課程學習（上），2013.03：50-51
[3]漆建哲.導數在高中數學解題中的應用分析[J].語數外學習（數學教育），2013.07：24
【關鍵詞】分段函數 分段點 導數
在導數運算過程中，分段函數在分段點處的導數是學生學習的一個難點。在很多高等數學教材中提到的僅僅是通過導數定義，或者左右導數定義來討論，但是通過導數定義來討論，解答過程會顯的繁瑣，而且計算量也比較大學生容易出錯，在學習過程中學生常常會提出是否可以通過求導公式來討論分段點處的導數情況。針對上述問題，筆者給出了一個求解分段函數在分段點處導數的行之有效的簡單方法。
一、分段點處左右鄰域導數極限都存在時
如果分段函數在分段點x0處連續，且左鄰域（x0-δ，x0）與右鄰域（x0，x0+δ）內可導時，可通過定理1與定理2求解。
定理1 若分段函數f（x）在分段點x0的某U（x0）內可導，滿足
從例3知道，分段點處左右鄰域導數極限不存在時，分段點也可能導數存在。也就是說，分段點處左右鄰域導數極限存在僅僅是分段點處可導的充分條件而非必要條件
三、結語
基于定理1與推論1給出了簡便判別分段函數在分段點處導數情況的判斷，避開使用導數定義判斷是否可導，簡化了計算難度，大大提高了計算的效率。文中也指出了定理1中條件（1）連續的重要性，以及分段點處左右鄰域導數極限存在僅僅是可導的充分條件。
參考文獻：
[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].第6版. 北京：高等教育出版社，2007.
本大綱適用于經濟學、 管理學以及職業教育類、 生物科學類、 地理科學類、 環境科學類、 心理學類、藥學類(除中藥學類外)六個一級學科的考生。
總要求
本大綱內容包括“高等數學”及“概率論初步”兩部分，考生應按本大綱的要求了解或 理解“高等數學”中極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微分學的基 本概念與基本理論;了解或理解“概率論”中古典概型、離散型隨機變量及其數字特征的基 本概念與基本國際要聞 學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法，應注意各部分知識 的結構及知識的內在聯系;應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力;能運用 基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準確地計算;能綜合運用所學知識分析 并解決簡單的實際問題。 本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次;對方 法和運算分為“會”“掌握”和“熟練”三個層次。 、
復習考試內容
一、極限和連續
(1)極限
1.知識范圍 數列極限的概念和性質
(1)數列數列極限的定義性有界性四則運算法則夾逼定理，單調有界數列極限存在定理
(2)函數極限的概念和性質 函數在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系 χ趨于無窮(χ∞，χ+∞， χ-∞)時函數的極限函數極限的幾何意義 性 四則運算法則 夾逼定理
(3)無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量的定義無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量的性質，無窮小量的比較。
(4)兩個重要極限
sin x lim x = 1 x 0
1 lim 1 + x = e x ∞x
2.要求
(1)了解極限的概念(對極限定義中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函數在一點處的左極限與右極限以及函數在一點處極限存在的充分必要條件。
(2)了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。
(3)理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系， 會進行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價) 。會運用等價無窮小量代換求極限。
(4)熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
(2)連續
1.知識范圍
(1)函數連續的概念 函數在一點處連續的定義 左連續和右連續 函數在一點處連續的充分必要條件 函數的 間斷點
(2)函數在一點處連續的性質 連續函數的四則運算 復合函數的連續性
(3)閉區間上連續函數的性質 有界性定理 值與最小值定理 介值定理(包括零點定理)
(4)初等函數的連續性
2.要求
(1) 理解函數在一點處連續與間斷的概念， 理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系， 掌握函數(含分段函數)在一點處的連續性的判斷方法。
(2)會求函數的間斷點。
(3)掌握在閉區間上連續函數的性質，會用它們證明一些簡單命題。
(4)理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數的連續性求極限。
二、一元函數微分學
(一)導數與微分
1.知識范圍
(1)導數概念導數的定義左導數與右導數函數在一點處可導的充分必要條件導數的幾何意義可導與連續的關系
(2)導數的四則運算法則與導數的基本公式
(3)求導方法 復合函數的求導法 隱函數的求導法 對數求導法
(4)高階導數 高階導數的定義 高階導數的計算
(5)微分 微分的定義 微分與導數的關系 微分法則 一階微分形式不變性
2.要求
(1)理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點 處的導數。
(2)會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
(3)熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。
(4)掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。
(5)了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。
(6)理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。
(二)導數的應用
1.知識范圍
(1) 洛必達(L′Hospital)法則
(2) 函數增減性的判定法
(3) 函數極值與極值點值與最小值
(4) 曲線的凹凸性、拐點
(5) 曲線的水平漸近線與鉛直漸近線
2.要求
(1)熟練掌握用洛必達法則求“
0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的極限的方法。 0 ∞
(2)掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法，會利用函數的增 減性證明簡單的不等式。
(3)理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、值與最小值的方法， 會求解簡單的應用問題。
(4)會判定曲線凹凸性，會求曲線的拐點。
(5)會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。
三、一元函數積分學
(一)不定積分
1.知識范圍
(1)不定積分 原函數與不定積分的定義 不定積分的性質
(2)基本積分公式
(3)換元積分法 第一換元法(湊微分法) 第二換元法
(4)分部積分法
(5)一些簡單有理函數的積分
2.要求
(1)理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。
(2)熟練掌握不定積分的基本公式。
(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(僅限形如
2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代換與簡單的根式代換) ∫
(4)熟練掌握不定積分的分部積分法
(5)掌握簡單有理函數不定積分的計算。
(二)定積分
1.知識范圍
(1)定積分的概念 定積分的定義及其幾何意義可積條件
(2)定積分的性質
(3)定積分的計算 變上限的定積分牛頓—萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式換元積分法分部積分法
(4)無窮區間的廣義積分、收斂、發散、計算方法
(5)定積分的應用 平面圖形的面積、旋轉體的體積
2.要求
(1) 理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。
(2) 掌握定積分的基本性質
(3) 理解變上限的定積分是上限的函數，掌握對變上限定積分求導數的方法。
(4) 熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式
(5) 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
(6) 理解無窮區間廣義積分的概念，掌握其計算方法。
(7) 掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成 旋轉體的體積。
四、多元函數微分學
1.知識范圍
(1)多元函數 多元函數的定義 二元函數的定義域 二元函數的幾何意義
(2)二元函數的極限與連續的概念
(3)偏導數與全微分 一階偏導數 二階偏導數 全微分
(4)復合函數的偏導數 隱函數的偏導數
(5)二元函數的無條件極值和條件極值
2.要求
(1)了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。
(2)了解二元函數的極限與連續的概念。
(3)理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握 二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數全微分的求法。
(4)掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。
(5)會求二元函數的無條件極值和條件極值。
(6)會用二元函數的無條件極值及條件極值求解簡單的實際問題。
五、概率論初步
1.知識范圍
(1)事件及其概率 隨機事件 事件的關系及其運算 概率的古典型定義 概率的性質 條件概率事件的獨立性
(2)隨機變量及其概率分布 隨機變量的概念 隨機變量的分布函數 離散型隨機變量及其概率分布 (3)隨機變量的數字特征 離散型隨機變量的數學期望 方差 標準差
2.要求
(1) 了解隨機現象、隨機試驗的基本特點;理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。
(2) 掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容(或互斥)關系及對立關系。
(3) 理解事件之間并(和) 、交(積) 、差運算的定義，掌握其運算規律。
(4) 理解概率的古典型定義;掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。
(5) 會求事件的條件概念;掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。
(6) 了解隨機變量的概念及其分布函數。
(7) 理解離散型隨機變量的定義及其概率分布，掌握概率分布的計算方法。
(8) 會求離散型隨機變量的數學期望、方差和標準差。
【摘 要】隨著新課改的推進，函數的綜合問題仍是歷年高考的重點和難點之一，特別是函數與導數大題中經常出現有關函數不等式的證明，用于考查學生的推理論證及運算求解能力。通過對歷年試題背景的研究發現了高等數學知識中泰勒公式的身影，本文就泰勒展開式在解決函數不等式的相關問題進行剖析。
關鍵詞 泰勒公式；余項；麥克勞林公式；函數不等式；放縮
函數不等式是一類以函數的基礎知識為背景結合導數知識的不等式，解題時往往以不等式和導數為工具，通過邏輯推理來解決問題。正所謂：“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”，如果沒有站在相應高等數學知識的高度，那么就很難看透問題的本質，更無法幫助學生揭開高考數學難題的神秘面紗。
徐國君通過對2010年與2011年數學高考題的研究，主要是通過泰勒展開式得到不等式ln(x+1)≤x≤ex-1，并對其進行巧妙的應用，大多數文章也是闡述類似的應用。本文將對ex、ln(1+x)及cosx等的n階展開式在高考中的精妙應用進行進一步剖析，以期能為函數不等式的證法注入活力。
泰勒公式形式1[1]：若函數f(x)在點x0存在n階導數,則有
這里o((x-x0)n)為皮亞諾型余項,稱(1)式為函數f(x)在點x0的泰勒公式。
稱此式為(帶有皮亞諾余項的)麥克勞林公式。
泰勒公式形式2[1]：若函數f(x)在含有x0的某區間(a,b)內存在n＋1階導函數,則有
稱此式為(帶有拉格朗日余項的)麥克勞林公式。
一、初步探究
例1、（2012年遼寧高考數學理科第12題）若x∈[0,+∞)，則下列不等式恒成立的是（ ）
說明：高考的標準答案是利用導數公式，通過函數的單調性與最值來證明不等式恒成立。
例2、（2013年全國卷新課標Ⅱ理科第21題）已知函數f(x)=ex-ln(x+m)．
(1)設x＝0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；
(2)當m≤2時，證明f(x)＞0。
解：（1）略。
（2）當m≤2,x∈(-m,+∞)時ln(x+m)≤ln(x+2)
故只需證當m=2時f(x)>0即ex>ln(x+2)
顯然，由泰勒展開式易得ex≥x+1（當且僅當x=0時取“=”）ln(x+2)≤x+1（當且僅當x=-1時取“=”）
ex≥ln(x+2)即當m≤2時，f(x)>0。
說明：顯然利用泰勒展開式的適當放縮與變形來解決這樣問題非常輕松。
二、深入探索
例3、（2013年遼寧高考數學理科第21題）
（1）證明：①要證f(x)≥1-x,x∈[0,1]，即證(1+x)e-2x≥1-x
說明：上述的證法主要采用ex的泰勒展開式進行適當的變形與放縮，使得整個解答過程自然流暢，當然本題也可采用構造函數法利用導數來證明。
【分析：對于式子中含有e-2x，cosx之類的超越不等式恒成立問題，如果直接采用構造函數法求導難度較大，最直接的想法是如何將超越不等式通過泰勒展開式的放縮轉化為代數不等式來處理，因此容易想到從cosx的三階泰勒展開式入手進行放縮。】
所以當a≤-3時，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立。
另一方面，當a>-3時
綜上所述：實數a的取值范圍是(-∞,-3]。
說明：本題也可采用第一題的結論進行轉化，再通過適當的構造函數并利用導數進行轉化來求解，解決過程可謂是一波三折。而利用泰勒展開式來解決此題那就會有高屋建瓴之勢，所有的過程演繹將會有一種水到渠成的感覺。
三、解法應用
例4、（2014年全國卷Ⅰ（理21））
(1)求a,b；（2）證明：f(x)>1。
例5、（2013年清華大學等“華約”自主招生考試）
(1)求證：當x>0時，f(x)<0；
總之，從以上具體實例發現，利用泰勒展開式來解決高考函數中的有關不等式問題主要是實現將超越不等式向代數式不等式的轉化，既簡化了運算過程又為高考函數的不等式題的解法注入了新的活力并展現泰勒展開式的魅力。
參考文獻
[1]陳傳璋.數學分析（上冊）[M].北京:高等教育出版社，1983
[2]徐國君.例談泰勒展開式及其應用—數學教學通訊[J].數學教學通訊，2012
基本的導數公式
1、C'=0(C為常數)；
2、(Xn)'=nX(n-1)(n∈R)；
3、(sinX)'=cosX；
4、(cosX)'=-sinX；
5、(aX)'=aXIna（ln為自然對數)；
6、(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna)(a>0，且a≠1)；
7、(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2
8、(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2
關鍵詞：泰勒公式；幾何意義；n！的非唯一性
中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）25-0216-03
引言：泰勒公式（又稱泰勒中值定理）在高等數學中占有重要的地位，一方面體現了復雜函數可以用多項式函數逼近的原則，另一方面也反映了函數與高階導數之間的關系[1]，在物理學、化學等其他學科中也有廣泛的應用。但是目前普遍使用的高等數學教材對該定理的證明過于追求簡練[2]，對定理的解釋不夠清晰，導致學生的理解含糊不清，不能靈活使用，更不利于學生解析思維的培養。
一、泰勒公式證明過程中存在的不足
高等學校多采用的高等數學教材中對泰勒公式的證明常采用以下方法：為了近似表達函數f（x）在x點的值，先在x的鄰域內找一點x，然后構造一個含有（x-x）的n次多項式的函數，假設這兩個函數從零階直到n階導數在x點的值分別相等[2]（而這個假設并非必須，詳見下面的分析），再證明余項就是f（x）與（x-x）的n次多項式的差[2]；或直接通過柯西中值定理證明[3]，這樣的證明無疑是簡潔的，缺點是幾何意義模糊，掩蓋了泰勒公式中值的含義，也沒有體現出解斷、分析從而逼近這一重要的數學思想，更重要的是會使人誤解泰勒公式中n！為唯一、必然的選擇。不少教師對泰勒公式的幾何意義的討論[4]，對學生更好地理解泰勒公式有極大的幫助，但是從幾何意義上推演泰勒公式的過程中，常常會不假思索地利用本段提到的假設，仍然會使人誤解泰勒公式中的系數n！是唯一的選擇。
二、泰勒公式的幾何意義及n！的非唯一性
三、結論
本文詳細描述了泰勒公式幾何意義，結合拉格朗日中值定理得出泰勒公式中與高階導數對應的分母取值n！并不是唯一的選擇，而是為了滿足一個并非普遍性的假設的需要，同時給出了泰勒公式的其他表達形式；并且還能清楚的看出，泰勒公式是拉格朗日中值定理在原函數（即零階導函數）、一階導函數、二階導函數、一直到n+1階導函數中的應用，這樣泰勒公式又稱為泰勒中值定理的緣由也就清楚了；將函數解斷、分析、從而達到逼近的方法也較好的呈現出來。
參考文獻：
[1]邵澤玲.泰勒公式與含高階導數的證明題[J].高等數學研究，2013，（16）：102-103.
[2]同濟大學應用數學系.高等數學[M].第五版.北京，高等教育出版社2002，（7）.
一、學習和掌握定理、公式的證明和有關性質的推導時借助向量知識解決
數學教學是數學活動的教學，定理、公式的證明不要僅僅呈現它的結論，也要關注知識產生的過程，當復習正弦定理與余弦定理時，將向量的數量積與三角形的邊長及三角函數聯系起來。掌握向量與三角知識間內在聯系的規律，把感知上升為理解和應用。又如復習正弦余弦函數的兩角和差公式時 ，用傳統方法過程比較復雜，如果利用數量積的相關內容來解決卻是那樣的簡潔明了。
數學概念、定理、公式、法則等方面知識的傳授無疑數學教學中所必須的，傳授過程中應加強對學生思維能力的訓練，把感知上升為理解和應用，引導學生自己去發現和掌握知識間內在聯系的規律和邏輯關系，使其形成良好的數學認知結構。學生學習數學知識是在原有的數學認知結構基礎上將新知識納入原有的認知結構中去，重新組織與發展認知結構的過程，在教材中《向量》一章的引進，無疑是對學生的數學思維能力、創造能力的培養有著促進作用。通過本章的教學，結合布置學生完成《實習作業》和《向量在物理中的應用》的研究性課題，使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練，結合介紹“向量”在幾何、機械、航海、測量等方面的應用，提高了數學建模的能力，使學生學會提出、分析、解決帶有實際意義的或與相關學科、生產和日常生活相關的數學問題，學會使用數學語言、數學概念表達問題，進行課堂上師生、生生之間的交流、互動，形成用數學的意識，進而達到全面提高學生數學素質的目的。
二、注重向量知識在解題中的作用
愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”善于觀察的人可以將常人熟視無睹的問題提出來，并加以研究解決。例如牛頓的“萬有引力定律”是受蘋果落地啟發的。在平面幾何中常用的定理在初中教學過程中都以“默認”的形式存在，學生是知其然而不知其所以然，因而數學意識并不強烈，讓很多有意義的問題擦肩而過。在引入向量的知識后，因為“向量”具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，它可作為聯系代數與幾何的紐帶，是中學數學知識的一個交匯點，向量不僅要作為一種知識去學習，更重要的是要作為一種方法、一種思想去理解。以前學過的平面幾何、立體幾何、解析幾何、不等式以及三角函數等知識均能得到較充分的應用，可借助它解決部分定理的證明(前面已有介紹)。因此，在教學中我有意識在這里充分發揮，設計了一批例題，并加以實施，以期達到培養學生觀察、分析、解決問題的能力乃至提高建立數學模型能力的目的。
三、注重導數知識在解題中的作用
導數這個解題工具進入高中教材以后，為高中數學注入了新的活力，特別是涉及函數的單調性、最值方面的問題時，利用導數不但能使問題的求解變得輕松、簡便，學生也易于接受。因此在復習諸如函數的單調性、二次函數最值方面的問題時不妨用用導數知識。
如： 求函數f(x)=x3－3x+3在區間[–3，32]上的最大值和最小值。
沒有學導數時，我們一般用二次函數的性質或數形結合來求解，但學了導數以后我覺得有必要向學生講解導數的解法，因為導數在求最值方面有它的優越性。
解：f(x)是閉區間[–3，32]上的連續函數，且在(–3，32)處處可導。
f′(x)=3x2－3=3(x2－1)，得駐點 x = ±1。
求得f (–3) = -15，f (–1) = 5，f (1) =1， f (32) = 158。
經比較，最大值為f (–1) = 5，最小值為f (–3) =–15。
解完后還可稍作變化，極點不在給定的定義域內的情況，此時只求出定義域的兩個端點值即可得出最大與最小值。明顯用導數法求解比用傳統方法容易操作，也容易讓學生接受，還有求諸如函數f(x)=x+1－x2 與 f(x)=1－2x±x 等等函數的值域的問題，都可以用導數方法來求解，而且也比較簡便，當然求導的方法也必須和以前的各種方法密切配合，才能真正體現數學解法的整體美。
四、理解和把握高考對向量和導數內容的具體要求
在高考卷中，處理這些新內容的基本取向，首先是試卷應盡量覆蓋這些新增加的內容；其次，難度控制與中學教改的逐步深化同步，逐步提高要求；第三，命題時注意體現這些新的數學內容在解題中的獨特的功能，力圖有助于促進課程改革的健康發展。
向量的考查要求主要是向量的性質和運算法則、基本運算技能以及和其他數學內容結合(幾何知識和代數知識有機地結合)在一起，如可以和曲線、數列、不等式等基礎知識結合，考查邏輯推理和運算能力等綜合運用數學知識解決問題的能力。平面向量一般以選擇題和填空題進行考查。而空間向量基本要求是根據題目特點建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，通過向量計算解決問題，一般利用解答題考查。
關鍵詞： 高考數學全面研究 高效復習 命題走向
一、分析試題特點
（一）對非主干知識考查。
（1）集合――四省都有一道考題，占分約5分，是一道容易題，都是考查集合的概念和集合的運算，并且都是放在第一題位置；（2）算法――四省都有一道考題，占分約五分，考查的都是流程圖，要求的都是輸出結果；（3）概率――三省有考題，只有海南無，三省考查的都是古典概率，江蘇考了一道填空題，而廣東卷第十七題考了概率統計大題，山東第十九題考了概率大題；（4）統計――四省都有考題只是考查的知識點有所不同，江蘇考查的是頻率分布直方圖，廣東卷考查的是分層抽樣及線性相關關系，山東卷考查的是平均數方差；（5）復數――三省有考題，只有廣東無，三省考查的都是復數的除法運算；（6）簡易邏輯――廣東卷山東卷都有考題，其他兩省無。且兩省考的都是充要條件問題。
注意：集合、算法、概率、統計、復數、簡易邏輯是基礎知識點。但江蘇卷又有其個性化特點，體現在兩個方面：一是命題、邏輯、量詞、類比推理書寫不方便，一般出現在填空題中；二是算法、概率、復數、統計、直方圖、莖葉圖、方差、均值輪流考，不考難題。
（二）對主干知識的考查。重點知識模塊是命題重點，注重在知識網絡交匯處命題。
1.函數知識――是歷年考試重點和熱點，結合四省試卷分析，函數部分考查的是如下兩個方面。（1）基本函數，分段函數，以及函數y=x+a/x（a＞0）定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性與最值問題；（2）函數的建模問題（江蘇卷14題）。能夠注重數學的應用意識和創新意識的考查，應用所學的數學知識和思想方法，構造數學模型，將一些簡單的實際問題轉化為數學問題，并加以解決；⑶函數綜合題給出函數解析式（含參函數）主要考查分類討論問題，主要以一二次函數、冪函數、指數函數、對數函數組合（海南卷第21題，山東卷第21題，廣東卷第20題）。注意：要特別關注海南、廣東函數綜合題，它們都是含參函數。但還要注意的是對江蘇卷來說函數綜合題不考抽象函數，不與導數結合，尤其是不考導數證明，不必在此知識點上練量習題。
2.立體幾何――四省都有一道或兩道題。巧的是四省所考大題都是一證一算。
3.直線與圓――四省都只有一道小題，考查的都是直線與圓的位置關系。
4.三角――四省都有兩道或者三道考題，占分約20分：（1）三角函數周期公式及通過三角函數基本關系式，三角函數圖像與性質及圖像的平移變換；（2）正余弦定理的應用（江蘇卷第13題，廣東卷第13題，山東卷第15題）；（3）兩角和差正弦、余弦、正切公式（江蘇卷第17題，海南卷第10題）。
5.平面向量――四省均有一道考題，屬中低檔題：（1）考查平面向量基本概念和運算以及坐標運算（江蘇卷第15題，廣東卷第5題）；（2）考查平面向量的數量積公式（山東卷第12題，海南卷第2題）。注意：三角、向量尤其是解三角形是命題的熱點，如加大難度涉及中線、高、角平分線。
6.數列――四省都有一道考題，結合四省試卷分析數列中有如下三個重點題型：（1）等差數列通項公式及前n項求和公式，（山東卷第18題，海南卷第17題），等比數列通項公式以及前n項求和公式（江蘇卷第8題，廣東卷第4題）；（2）已知Sn與an關系，（江蘇卷第19題的第1小題）；（3）數列中常用的求和方法及數列與不等式綜合題（江蘇卷第18題，山東卷第18題）。注意：江蘇卷上把函數數列放在后兩題，這是江蘇卷獨有的特點。
7.不等式――江蘇卷考了三道題，而其他三省均考一道題：（1）考查一元二次不等式，基本不等式。（江蘇卷第11題，第19題。山東卷第14題）；（2）線性規劃問題。（廣東卷第19題，海南省第11題）。注意：線性規劃問題實質上研究的就是用最少的錢創造最大的經濟效益問題。一元二次不等式、基本不等式對江蘇卷來說是兩個C級要求的知識點，是高考必考的知識點。
8.圓錐曲線――四省均有一道或者兩道題，考查的主要有如下兩種類型：（1）會求橢圓、拋物線、雙曲線的離心率（廣東卷第7題）及標準方程（山東卷第9題）；（2）直線與橢圓相交問題，巧的是江蘇、山東、海南所考大題都是直線與橢圓相交問題。注意：考綱中，直線與圓是C級，橢圓是B級，既是重點又是難點。
9.導數――四省都有一道或兩道題，結合四省試卷分析，導數部分重點考查如下三個題型：（1）導數幾何意義（四省都有考題），利用導數法求高次函數及非基本函數單調區間及最值問題，（山東卷第18題）；（2）利用導數法，討論含參函數單調性及最值問題，（山東卷第21題的第2小題）。注意：因高校教師熟悉導數，利用導數研究導數性質，歷來都是命題重點和熱點。
二、對2010屆江蘇高三數學復習的反思
高三數學復習出現的主要問題有：（1）不重視對《考試說明》的研究；（2）不重視課本上典型例題、習題的研究，例如：2010年江蘇卷第17題，本題的原型就是蘇教版數學必修5第11頁的第3題；（3）不重視糾錯，只一味地講新題，其實糾錯有時比講幾道新題更有效；（4）落實三基不到位；（5）過早講解練習中的難題，不重視審題習慣的培養，追求面面俱到，重點不突出，學生參與少，課堂效率低下。
三、對2011年江蘇數學復習的啟示
對四個新課標區試卷分析之后，對我們來年的復習有諸多啟示，可以提高教學的針對性，對于江蘇卷未出現而又有要求的知識點，如線性規劃問題，充要條件問題等要引起高度重視。對于出現的創新題要好好研究培養學生的探究能力。具體強調如下幾點。
（一）要認真研究新課標、教學要求和考試說明，提高教學針對性。
要準確把握考試說明中各知識點能力要求，對A、B兩級的知識點要舍得花時間、花精力。
（二）夯實基礎，關注通性通法。
“夯實基礎，提高能力”是復習教學永恒的主題；要重視課本作用，在基礎知識、基本方法和基本能力上教學多下功夫；要認真理解，反復推敲高中各知識點的涵義；對容易混淆的知識，要幫助學生仔細辨識、區別，逐步建立與高中數學結構相適應的思考方法；要及時歸納，總結各種通性通法，提高運用能力；要注意數學思想方法的訓練，尤其是函數與方程的思想，數形結合的思想和分類討論的思想，要突出培養綜合解題能力。
